Teilbar oder nicht?

Worum geht es in dieser App?

Ist 4 356 durch 9 teilbar? Wer die Teilbarkeitsregeln kennt, muss dafür nicht schriftlich dividieren: Die Quersumme 4 + 3 + 5 + 6 = 18 ist durch 9 teilbar, also auch die Zahl. Die App „Teilbar oder nicht?“ beschäftigt sich mit den Regeln für 2, 3, 4, 5, 6, 9 und 10 im Zahlenraum bis 10 000. Am Ende sollen Kinder die Teilbarkeit einer Zahl mithilfe von Zahleigenschaften begründet beurteilen können – nicht nur richtig ankreuzen.

Deshalb antwortet die App nicht mit einem bloßen Richtig oder Falsch. Jede Rückmeldung nennt den Grund: die Endziffer, die Zahl aus den letzten zwei Ziffern oder die Quersumme. Typische Fehlvorstellungen werden gezielt angesprochen, etwa „endet auf 3, also durch 3 teilbar“ oder „enthält eine 9, also durch 9 teilbar“. Gegenbeispiele wie 13 und 12 oder 19 und 18 helfen, den Irrtum selbst zu erkennen.

So funktioniert die App

Lernen: In der Zahlenlupe geben Kinder eine eigene Zahl von 0 bis 10 000 ein oder lassen eine Zahl ziehen. Zu jeder der sieben Regeln erscheint sofort, ob die Zahl teilbar ist, warum das so ist und eine Probe als Division, gegebenenfalls mit Rest. Endziffer, letzte zwei Ziffern und Quersumme lassen sich hervorheben. Unter „Warum gilt die Regel?“ wird jede Regel an der eingegebenen Zahl begründet, zum Beispiel über die Zerlegung in Zehner oder Hunderter beziehungsweise über 9, 99 und 999. Ein Abschnitt „Vorsicht, Falle!“ stellt typische Fehlschlüsse an Zahlenpaaren gegenüber; ein weiterer zeigt, dass auch die 0 durch jede dieser Zahlen teilbar ist.

Training: Eine Runde besteht voreingestellt aus 15 Aufgaben in drei Formen. In der Teilertabelle entscheiden die Kinder für jede Zahl einzeln „teilbar“ oder „nicht teilbar“. Beim begründeten Entscheiden wählen sie unter mehreren Antworten diejenige, bei der Ergebnis und Begründung stimmen. Beim Auswählen tippen sie alle Zahlen an, die durch einen bestimmten Teiler teilbar sind. Die Zahlen werden nach Regeln erzeugt und enthalten gezielt Fallen, etwa gerade Zahlen, die nicht durch 4 teilbar sind.

Profi: Knobelaufgaben für Kinder, die schneller fertig sind: eine oder alle passenden Ziffern in eine Lücke einsetzen, eine Zahl in einem Bereich finden („durch 6, aber nicht durch 4 teilbar“), aus Ziffernkarten eine passende Zahl legen und Aussagen prüfen. Bei einer falschen Aussage genügt kein Kreuz – die Kinder nennen ein Gegenbeispiel. Ein Hinweis über der Aufgabe zeigt, ob eine Lösung genügt oder alle gefunden werden sollen. Viele Aufgaben haben mehrere richtige Antworten; die App akzeptiert jede und zeigt danach einige weitere Möglichkeiten, die vollständige Liste lässt sich aufklappen. Alle Profi-Aufgaben sind lösbar, weil die App ihre Lösungen vorher vollständig berechnet.

Rückmeldung und Hilfen: Ist eine Antwort richtig, bestätigt die App sie mit Begründung. Nach dem ersten Fehlversuch folgt ein Hinweis mit einem Tipp; die Kinder versuchen es erneut. Nach dem zweiten Fehlversuch zeigt die App einen nachvollziehbaren Prüfweg und stellt anschließend eine ähnliche Aufgabe. Diese zählt zur eingestellten Rundenlänge, sodass jede Runde sicher endet; nach der letzten Aufgabe ist eine ähnliche Zusatzaufgabe freiwillig. Zusätzlich können Kinder jederzeit die Endziffer markieren, die Quersumme einblenden oder einen Tipp in zwei Stufen abrufen. Es gibt keinen Zeitdruck, keine Punkte und keine Rangliste. Am Rundenende erscheint eine Übersicht mit Merksätzen zu den Regeln, die noch Schwierigkeiten bereitet haben, und Sätzen zum Abschreiben ins Heft.

Einstellungen: Auf der Startseite wählen Sie die Stufe: leicht mit 2, 5 und 10, mittel zusätzlich mit 3 und 9, schwer mit allen sieben Teilern einschließlich 4 und 6. In den Einstellungen für Lehrkräfte legen Sie Zahlenraum (bis 100, 1 000 oder 10 000), Anzahl der Aufgaben (5, 10, 15 oder 20) und die Hilfen fest. Dort entsteht auch ein Link, der die App direkt mit diesen Einstellungen im Training öffnet, zum Beispiel ?modus=training&stufe=mittel&bis=1000&anzahl=10. Die Einstellungen werden nur im jeweiligen Browser gemerkt; Ergebnisse der Kinder werden nicht gespeichert und nicht übertragen.

Didaktische Hinweise

Teilbarkeitsregeln werden leicht zu Rezepten, die Kinder verwechseln: Die Endziffer, die bei 2, 5 und 10 entscheidet, wird auf 3 oder 4 übertragen, oder eine 9 in der Zahl gilt als Beleg für die Teilbarkeit durch 9. Hilfreich ist es, die Regeln zu begründen. Jede Zahl lässt sich in Zehner und Einer zerlegen, und jeder Zehner ist durch 2, 5 und 10 teilbar – also entscheidet die Endziffer. Weil 100 = 25 · 4 gilt, kommt es bei der 4 auf die letzten zwei Ziffern an. Und weil 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 und 1 000 = 999 + 1, bleibt bei 3 und 9 die Quersumme übrig. Die App zeigt diese Begründungen an der jeweils eingegebenen Zahl; im Unterricht können sie mit Stellenwertmaterial oder an der Stellentafel vertieft werden.

Die Teilbarkeit durch 6 ist keine eigene Ziffernregel: Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Die App behandelt sie konsequent so. Anschaulich wird das an der Dreierreihe, in der sich ungerade und gerade Zahlen abwechseln – die geraden darunter bilden die Sechserreihe. Die Endziffer 6 allein reicht dagegen nicht, wie 16 zeigt. Die 0 kommt in den Übungsaufgaben nicht vor, wird aber im Lernbereich korrekt eingeordnet: 0 : 3 = 0, also ist 0 durch 3 teilbar.

Gesprächsanlässe bieten vor allem die Profi-Aufgaben: „Warum ändert sich die Quersumme beim Umlegen der Ziffernkarten nicht?“, „Warum gibt es für die Lücke bei der 9 höchstens zwei passende Ziffern?“ oder „Wie findet man schnell ein Gegenbeispiel?“ Große Zahlen werden wie im Schulbuch in Dreiergruppen mit kleinem Abstand geschrieben (4 356). Bei der Eingabe versteht die App 4356, 4 356 und 4.356; Kommazahlen weist sie mit einem Hinweis zurück. Die Idee zur App entstand in einer Fortbildung zu digitalen Medien im Mathematikunterricht; Texte und Darstellungen sind eigenständig gestaltet.