Zoom-Zahlenstrahl

Worum geht es in dieser App?

Der Zoom-Zahlenstrahl ist ein Anschauungswerkzeug für große Zahlen und für Dezimalzahlen. Es gibt nur einen einzigen Zahlenstrahl. In ihn wird stufenlos hineingezoomt. Dabei erscheinen zwischen zwei ganzen Zahlen neue Teilstriche: Zwischen 2 und 3 liegen die Zehntel 2,1 bis 2,9, zwischen 2,3 und 2,4 die Hundertstel 2,31 bis 2,39 und so weiter bis zu den Millionsteln. Es entsteht keine Folge neuer Zahlenstrahlen untereinander. Die Kinder sehen, dass der vergrößerte Abschnitt derselbe Teil desselben Strahls bleibt.

Ein angetippter Abschnitt wird farbig markiert. Er bleibt markiert, während in ihn hineingezoomt wird. Über dem Strahl zeigt eine Abschnittsleiste den bisherigen Weg, etwa „0 bis 10 › 2 bis 3 › 2,3 bis 2,4“. Ein Tipp auf einen Teil dieses Wegs zoomt wieder dorthin zurück. Der Zahlenraum reicht bis eine Million. Auf Wunsch wird der Strahl zur Zahlengerade mit negativen Zahlen bis −1 000 000.

Fachlicher Hintergrund

Im Stellenwertsystem wird jede Einheit in zehn gleiche Teile zerlegt: Ein Einer besteht aus zehn Zehnteln, ein Zehntel aus zehn Hundertsteln. Am Zahlenstrahl wird diese Verfeinerung sichtbar. Jeder Abschnitt zwischen zwei benachbarten Strichen einer Stufe enthält zehn gleich lange Abschnitte der nächstfeineren Stufe. Dieselbe Struktur gilt nach oben: Zehn Zehntausender ergeben einen Hunderttausender. Wer von 0 bis 1 000 000 bis zur Zahl 345 678 hineinzoomt, durchläuft die Stellenwerte vom Hunderttausender bis zum Einer.

Für Dezimalzahlen ist die Einsicht wichtig, dass zwischen zwei Zahlen immer noch weitere liegen. Kinder übertragen häufig Vorstellungen aus den natürlichen Zahlen. Dann gilt 2,4 als Nachfolger von 2,3, oder 2,15 erscheint größer als 2,3, weil die Ziffernfolge länger ist. Am gezoomten Strahl lässt sich dagegen zeigen, wo 2,15 tatsächlich liegt und dass zwischen 2,3 und 2,4 die Zahlen 2,31, 2,32 … und dazwischen wieder weitere liegen. Die App bricht bei Millionsteln ab und sagt das auch. Die Feststellung, dass es grundsätzlich immer weitergeht, bleibt eine mathematische Aussage, die im Gespräch begründet werden sollte.

Alle Zahlen am Strahl werden exakt berechnet und deutsch geschrieben: mit Dezimalkomma, Tausendergruppen ab vier Stellen (1 000), ohne Rundungsartefakte wie 0,30000000000000004 und ohne „−0“.

So funktioniert die App

Ausgangsbereich wählen: Der Knopf oben rechts („Start: 0 bis 10“) legt fest, mit welchem Ausschnitt der Strahl beginnt: 0 bis 1, 0 bis 10, 0 bis 20, 0 bis 100 und so weiter bis 0 bis 1 000 000. Dort lassen sich auch die negativen Zahlen einschalten. Danach kann über den ganzen Zahlenraum verschoben und gezoomt werden. Der Knopf zeigt weiterhin den Ausgangsbereich. Was gerade zu sehen ist, steht unter dem Strahl, etwa „Sichtbar: 2,29 bis 2,41 · Feinste Striche: je 0,01 (Hundertstel)“.

Abschnitt vergrößern: Ein Tipp zwischen zwei Zahlen markiert den Abschnitt blau. Ein zweiter Tipp darauf oder der Knopf „Vergrößern“ zoomt flüssig hinein, bis der Abschnitt den größten Teil der Breite einnimmt. Danach steht über dem Strahl zum Beispiel: „Der Abschnitt 2 bis 3 ist in 10 gleiche Teile geteilt: Zehntel. Der längere Strich in der Mitte zeigt die Hälfte (2,5).“ Sind zwischen den Zehnteln schon kleinere Striche zu sehen, nennt die App auch diese: „Die kleinen Striche dazwischen sind Hundertstel (je 0,01): 10 davon ergeben ein Zehntel (0,1).“ Bei noch stärkerem Zoom beschreibt der Hinweis nur noch die tatsächlich sichtbare Teilung, etwa „Im Abschnitt 2 bis 3 sind jetzt die Tausendstel zu sehen (je 0,001). Jeweils 10 davon ergeben ein Hundertstel (0,01).“ Liegt der markierte Abschnitt außerhalb des Bildes, sagt die App das und verweist auf den Weg. Am Bildrand werden Zahlen nach innen gerückt, damit sie ganz lesbar bleiben; ihr Teilstrich bleibt an seiner Stelle.

Frei verschieben und zoomen: Mit Finger oder Maus wird der Strahl gezogen. Zwei Finger zoomen um die Stelle zwischen den Fingern, Mausrad und Trackpad um die Stelle unter dem Mauszeiger. Für alle Ziehbewegungen gibt es Knöpfe: ‹ und › verschieben, + und − zoomen in Schritten, sodass zwei Schritte genau eine Stellenwertstufe ergeben. Am Anfang des Zahlenstrahls bei 0, bei einer Million und bei der feinsten Stufe hält der Strahl ruhig an; die betreffenden Knöpfe werden dann ausgegraut.

Zahl zeigen: In das Feld unten kann eine Zahl eingegeben werden, etwa 2,37, 0,05 oder 345 678. Möglich sind bis zu sechs Nachkommastellen. Der Strahl zoomt zu dieser Zahl, markiert sie orange und baut den Weg über die Abschnitte auf. Bei Eingaben, die die App nicht lesen kann, bei zu vielen Nachkommastellen oder bei negativen Zahlen im ausgeschalteten Modus erklärt sie, was zu tun ist. Bei negativen Zahlen bietet sie das Einschalten direkt an.

Tastatur: Wenn der Strahl ausgewählt ist, verschieben die Pfeiltasten nach links und rechts; mit Umschalttaste geht es weiter. Plus und Minus zoomen. Pfeil nach oben markiert den Abschnitt in der Mitte, ein zweites Drücken vergrößert ihn. Pfeil nach unten zoomt heraus. Esc nimmt die letzte Markierung zurück, Pos1 zeigt wieder den Ausgangsbereich.

Links für die Klasse: An die Adresse der App lässt sich anhängen: ?bereich=1000 startet mit 0 bis 1000, ?negativ=1 mit der Zahlengerade, ?zahl=2,37 zeigt diese Zahl. Mehrere Angaben werden mit & verbunden, zum Beispiel ?bereich=10&zahl=2,37.

Didaktische Hinweise

Die App ist zum Zeigen und Erklären gedacht, etwa an der digitalen Tafel, und nicht als Übungsprogramm. Sie enthält bewusst keine Aufgaben mit Bewertung. Gut geeignet sind Impulse wie: „Was erwartest du, wenn wir zwischen 2 und 3 hineinzoomen?“ – „Wie viele Hundertstel passen zwischen 2,3 und 2,4?“ – „Wo liegt 2,15? Und 2,3?“ – „Gibt es eine Zahl zwischen 2,39 und 2,4?“ Die Kinder sollten vor dem Zoomen eine Vermutung äußern und danach am Strahl begründen.

Zum Vergleichen und Runden lassen sich Zahlen nacheinander zeigen: Liegt 2,37 näher an 2,3 oder an 2,4? Beim Hineinzoomen in große Zahlen wird außerdem erfahrbar, wie lang eine Million im Vergleich zu einem Einer ist. Bei sehr großen Zahlen mit vielen Nachkommastellen werden die Beschriftungen lang. Dann sind gleichzeitig nur wenige Zahlen beschriftet, die übrigen Striche bleiben sichtbar. Die Markierung und die Zeile unter dem Strahl helfen bei der Orientierung.